Filas estão presentes no nosso dia a dia e no geral acontecem porque a procura por um serviço é maior do que a capacidade do sistema de atender os clientes. Aumentar a capacidade de atendimento muitas vezes não é possível por limitações físicas ou econômicas.

Por isso a Teoria das Filas tenta, através de análises matemáticas detalhadas, encontrar um ponto de equilíbrio que satisfaça o cliente e seja viável para o provedor do serviço.

Modelos de filas

Os modelos de filas são definidos a partir da Notação de Kendall, que representa cada cadeia de filas pelos símbolos da seguinte forma: A/B/c/K/N/Z

  • A: distribuição do tempo entre chegadas;
  • B: disciplina de serviços;
  • c: número de servidores;
  • K: capacidade total de usuários no sistema;
  • N: número de usuários potenciais em uma população fonte;
  • Z: disciplina de atendimento.

Usualmente, quando não declarados a capacidade máxima do sistema (K), e o número de clientes a serem atendidos (N), estes serão considerados como ilimitados.

A disciplina de atendimento pode admitir duas politicas. First In First Out (primeiro que entra primeiro a sair), ou fila, é a estrutura de atendimento que bancos e hospitais utilizam, pois seguem a ordem de que os primeiros a chegar serão os primeiros a ser atendidos. Last In First Out (último que entra primeiro a sair) é a estrutura habitualmente chamada de pilha e amplamente utilizada na estacagem de produtos. Caso o modelo não declare qual a disciplina de atendimento, entende-se que será utilizada a disciplina FIFO.

Modelo M/M/2

O modelo M/M/2 da notação de Kendall é uma parametrização simples. Neste caso, a distribuição do tempo entre novas chegadas de clientes ao sistema é suposta exponencial (M). O tempo necessário para realizar cada serviço também segue uma distribuição exponencial (M). A capacidade máxima do sistema e a população fonte são supostamente infinitas. Nas aplicações desse modelo, denotamos por λλ e μμ a taxa média de chegada e de atendimento, respectivamente. Além disso, supomos que há dois servidores e que a disciplina da fila é FIFO.

Exemplo no R

Para exemplificarmos essa teoria vamos usar o R e simular as chegadas, atendimentos e saídas em um banco.

rm(list = ls())

if(!require(queuecomputer)){install.packages("queuecomputer");require(queuecomputer)}
if(!require(ggplot2)){install.packages("ggplot2");require(ggplot2)}

# Taxa de chegada
l = c(1/10, 1/3, 1/5, 1/8, 1/8, 1/5, 1/3)
# Taxa de Serviço
mu = 1/5
# Duração da simulação
duration = 60
time=0
# Chegadas antes do banco abrir
T1 = 0
while(time<duration){
  T1 = c(T1,ceiling(rexp(1, rate = l[1])))
  time <- sum(T1)
}
T1=T1[-length(T1)]
time <- sum(T1)
nEvents = length(T1) # número total de eventos ocorridos
antes=nEvents #número de pessoas que chegaram antes do banco abrir

#simulando as chegadas nas proximas 6 horas
for (i in 2:7) {
  while(time<duration*i){
    T1 = c(T1,(ceiling(rexp(1, rate = l[i]))))
    time <- sum(T1)
  }
  T1=T1[-length(T1)]
}
T1=T1[-length(T1)]
T1
##  [1]  0 18  5  5  3  9  6  3  3  9  1  1  2  2  1  1  7  4  1  2  2  1  1
## [24]  1  3  1  5  1  3  3  3  1  2  2  2  1  3  4  2  3  3 31  2  4 12  8
## [47] 28  5  3  2  8  4  5 11  4  5 12  7 11  5 13  7  3  6 16  5  3  2  1
## [70]  2  2  6  1  1  1  1 16  7  4  3  4  5  1  2  9
time <- sum(T1)
time
## [1] 418
nEvents = length(T1)
nEvents
## [1] 85
#simulando os atendimentos
atend = ceiling(rexp(1, rate = mu))

for (i in 2:nEvents) {
  atend=c(atend,ceiling(rexp(1, rate = mu)))
}
atend
##  [1]  3  3 10  6 18  2  5 12  3 12  2  5  1  1  1  6  3  3  1  1  9  2  1
## [24]  5  9  8  8  5 13  9  5  3  5  3 13  2  7  1  2  4  4  4  7  2  5  1
## [47]  5  3  4  1  4  4  1  1  3  1 10  1 20  1  2 29  3  2  1  6  4  5  3
## [70]  3  1  4  8  1  1  1  2 10  3  1  6  2  9 18  7
atend_antes=c(atend[1:antes])
atend_antes
## [1]  3  3 10  6 18  2  5
#Simulação de Chegadas
print("Simulação de Chegadas")
## [1] "Simulação de Chegadas"
cat("Chegada 1:" ,T1[1], "minutos", "\n")
## Chegada 1: 0 minutos
for (i in 2:nEvents) {
  a=i-1
  cat("Chegada" , i,":" ,T1[i], "minutos","após chegada" ,a, "\n")
}
## Chegada 2 : 18 minutos após chegada 1 
## Chegada 3 : 5 minutos após chegada 2 
## Chegada 4 : 5 minutos após chegada 3 
## Chegada 5 : 3 minutos após chegada 4 
## Chegada 6 : 9 minutos após chegada 5 
## Chegada 7 : 6 minutos após chegada 6 
## Chegada 8 : 3 minutos após chegada 7 
## Chegada 9 : 3 minutos após chegada 8 
## Chegada 10 : 9 minutos após chegada 9 
## Chegada 11 : 1 minutos após chegada 10 
## Chegada 12 : 1 minutos após chegada 11 
## Chegada 13 : 2 minutos após chegada 12 
## Chegada 14 : 2 minutos após chegada 13 
## Chegada 15 : 1 minutos após chegada 14 
## Chegada 16 : 1 minutos após chegada 15 
## Chegada 17 : 7 minutos após chegada 16 
## Chegada 18 : 4 minutos após chegada 17 
## Chegada 19 : 1 minutos após chegada 18 
## Chegada 20 : 2 minutos após chegada 19 
## Chegada 21 : 2 minutos após chegada 20 
## Chegada 22 : 1 minutos após chegada 21 
## Chegada 23 : 1 minutos após chegada 22 
## Chegada 24 : 1 minutos após chegada 23 
## Chegada 25 : 3 minutos após chegada 24 
## Chegada 26 : 1 minutos após chegada 25 
## Chegada 27 : 5 minutos após chegada 26 
## Chegada 28 : 1 minutos após chegada 27 
## Chegada 29 : 3 minutos após chegada 28 
## Chegada 30 : 3 minutos após chegada 29 
## Chegada 31 : 3 minutos após chegada 30 
## Chegada 32 : 1 minutos após chegada 31 
## Chegada 33 : 2 minutos após chegada 32 
## Chegada 34 : 2 minutos após chegada 33 
## Chegada 35 : 2 minutos após chegada 34 
## Chegada 36 : 1 minutos após chegada 35 
## Chegada 37 : 3 minutos após chegada 36 
## Chegada 38 : 4 minutos após chegada 37 
## Chegada 39 : 2 minutos após chegada 38 
## Chegada 40 : 3 minutos após chegada 39 
## Chegada 41 : 3 minutos após chegada 40 
## Chegada 42 : 31 minutos após chegada 41 
## Chegada 43 : 2 minutos após chegada 42 
## Chegada 44 : 4 minutos após chegada 43 
## Chegada 45 : 12 minutos após chegada 44 
## Chegada 46 : 8 minutos após chegada 45 
## Chegada 47 : 28 minutos após chegada 46 
## Chegada 48 : 5 minutos após chegada 47 
## Chegada 49 : 3 minutos após chegada 48 
## Chegada 50 : 2 minutos após chegada 49 
## Chegada 51 : 8 minutos após chegada 50 
## Chegada 52 : 4 minutos após chegada 51 
## Chegada 53 : 5 minutos após chegada 52 
## Chegada 54 : 11 minutos após chegada 53 
## Chegada 55 : 4 minutos após chegada 54 
## Chegada 56 : 5 minutos após chegada 55 
## Chegada 57 : 12 minutos após chegada 56 
## Chegada 58 : 7 minutos após chegada 57 
## Chegada 59 : 11 minutos após chegada 58 
## Chegada 60 : 5 minutos após chegada 59 
## Chegada 61 : 13 minutos após chegada 60 
## Chegada 62 : 7 minutos após chegada 61 
## Chegada 63 : 3 minutos após chegada 62 
## Chegada 64 : 6 minutos após chegada 63 
## Chegada 65 : 16 minutos após chegada 64 
## Chegada 66 : 5 minutos após chegada 65 
## Chegada 67 : 3 minutos após chegada 66 
## Chegada 68 : 2 minutos após chegada 67 
## Chegada 69 : 1 minutos após chegada 68 
## Chegada 70 : 2 minutos após chegada 69 
## Chegada 71 : 2 minutos após chegada 70 
## Chegada 72 : 6 minutos após chegada 71 
## Chegada 73 : 1 minutos após chegada 72 
## Chegada 74 : 1 minutos após chegada 73 
## Chegada 75 : 1 minutos após chegada 74 
## Chegada 76 : 1 minutos após chegada 75 
## Chegada 77 : 16 minutos após chegada 76 
## Chegada 78 : 7 minutos após chegada 77 
## Chegada 79 : 4 minutos após chegada 78 
## Chegada 80 : 3 minutos após chegada 79 
## Chegada 81 : 4 minutos após chegada 80 
## Chegada 82 : 5 minutos após chegada 81 
## Chegada 83 : 1 minutos após chegada 82 
## Chegada 84 : 2 minutos após chegada 83 
## Chegada 85 : 9 minutos após chegada 84
#Simulação de Atendimentos
print("Simulação de Atendimentos")
## [1] "Simulação de Atendimentos"
cat("Atendimento 1: " ,atend[1], "minutos", "\n")
## Atendimento 1:  3 minutos
for (i in 2:nEvents) cat("Atendimento" ,i,":" ,atend[i], "minutos","\n")
## Atendimento 2 : 3 minutos 
## Atendimento 3 : 10 minutos 
## Atendimento 4 : 6 minutos 
## Atendimento 5 : 18 minutos 
## Atendimento 6 : 2 minutos 
## Atendimento 7 : 5 minutos 
## Atendimento 8 : 12 minutos 
## Atendimento 9 : 3 minutos 
## Atendimento 10 : 12 minutos 
## Atendimento 11 : 2 minutos 
## Atendimento 12 : 5 minutos 
## Atendimento 13 : 1 minutos 
## Atendimento 14 : 1 minutos 
## Atendimento 15 : 1 minutos 
## Atendimento 16 : 6 minutos 
## Atendimento 17 : 3 minutos 
## Atendimento 18 : 3 minutos 
## Atendimento 19 : 1 minutos 
## Atendimento 20 : 1 minutos 
## Atendimento 21 : 9 minutos 
## Atendimento 22 : 2 minutos 
## Atendimento 23 : 1 minutos 
## Atendimento 24 : 5 minutos 
## Atendimento 25 : 9 minutos 
## Atendimento 26 : 8 minutos 
## Atendimento 27 : 8 minutos 
## Atendimento 28 : 5 minutos 
## Atendimento 29 : 13 minutos 
## Atendimento 30 : 9 minutos 
## Atendimento 31 : 5 minutos 
## Atendimento 32 : 3 minutos 
## Atendimento 33 : 5 minutos 
## Atendimento 34 : 3 minutos 
## Atendimento 35 : 13 minutos 
## Atendimento 36 : 2 minutos 
## Atendimento 37 : 7 minutos 
## Atendimento 38 : 1 minutos 
## Atendimento 39 : 2 minutos 
## Atendimento 40 : 4 minutos 
## Atendimento 41 : 4 minutos 
## Atendimento 42 : 4 minutos 
## Atendimento 43 : 7 minutos 
## Atendimento 44 : 2 minutos 
## Atendimento 45 : 5 minutos 
## Atendimento 46 : 1 minutos 
## Atendimento 47 : 5 minutos 
## Atendimento 48 : 3 minutos 
## Atendimento 49 : 4 minutos 
## Atendimento 50 : 1 minutos 
## Atendimento 51 : 4 minutos 
## Atendimento 52 : 4 minutos 
## Atendimento 53 : 1 minutos 
## Atendimento 54 : 1 minutos 
## Atendimento 55 : 3 minutos 
## Atendimento 56 : 1 minutos 
## Atendimento 57 : 10 minutos 
## Atendimento 58 : 1 minutos 
## Atendimento 59 : 20 minutos 
## Atendimento 60 : 1 minutos 
## Atendimento 61 : 2 minutos 
## Atendimento 62 : 29 minutos 
## Atendimento 63 : 3 minutos 
## Atendimento 64 : 2 minutos 
## Atendimento 65 : 1 minutos 
## Atendimento 66 : 6 minutos 
## Atendimento 67 : 4 minutos 
## Atendimento 68 : 5 minutos 
## Atendimento 69 : 3 minutos 
## Atendimento 70 : 3 minutos 
## Atendimento 71 : 1 minutos 
## Atendimento 72 : 4 minutos 
## Atendimento 73 : 8 minutos 
## Atendimento 74 : 1 minutos 
## Atendimento 75 : 1 minutos 
## Atendimento 76 : 1 minutos 
## Atendimento 77 : 2 minutos 
## Atendimento 78 : 10 minutos 
## Atendimento 79 : 3 minutos 
## Atendimento 80 : 1 minutos 
## Atendimento 81 : 6 minutos 
## Atendimento 82 : 2 minutos 
## Atendimento 83 : 9 minutos 
## Atendimento 84 : 18 minutos 
## Atendimento 85 : 7 minutos
filas <- queue_step(arrivals=T1, service=atend, servers=2)
filas
## # A tibble: 85 x 6
##    arrivals service departures waiting system_time server
##       <dbl>   <dbl>      <dbl>   <dbl>       <dbl>  <int>
##  1        0       3          3       0           3      1
##  2       18       3        210     189         192      1
##  3        5      10        136     121         131      2
##  4        5       6        136     125         131      1
##  5        3      18         78      57          75      2
##  6        9       2        172     161         163      1
##  7        6       5        151     140         145      1
##  8        3      12         90      75          87      1
##  9        3       3         81      75          78      2
## 10        9      12        184     163         175      1
## # ... with 75 more rows
summary(filas)
## Total customers:
##  85
## Missed customers:
##  0
## Mean waiting time:
##  91.8
## Mean response time:
##  96.8
## Utilization factor:
##  0.995327102803738
## Mean queue length:
##  37.2
## Mean number of customers in system:
##  38.4

Gráficos da espera em filas

## parcelas de densidade dos horários de chegada e partida
plot(filas, which = 1)
densidade dos horários de chegada e partida das filas
## histogramas dos horários de chegada e partida
plot(filas, which = 2)
histogramas dos horários de chegada e partida
## gráficos de densidade de tempos de espera e sistema
plot(filas, which = 3)
tempos de espera e sistema de filas
## função step do comprimento da fila
plot(filas, which = 4)
função step do comprimento da fila
## gráfico de intervalo de linhas do status do cliente e do servidor
plot(filas, which = 5)
gráfico de intervalo de linhas do status do cliente e do servidor
## gráfico de distribuição empírica dos horários de chegada e partida
plot(filas, which = 6)
gráfico de distribuição empírica dos horários de chegada e partida

Você já conseguiu entender um pouco mais sobre a teoria das filas? Restou alguma dúvida? Deixe seus comentários aqui embaixo que iremos responder.

Artigo escrito com a colaboração de Joziani Mota Vieira.

0 respostas

Deixe uma resposta

Quer participar dessa discussão?
Sinta-se livre para contribuir!

Deixe uma resposta

O seu endereço de e-mail não será publicado. Campos obrigatórios são marcados com *