No artigo de hoje vamos apresentar as formas distintas e adequadas de comparação de duas ou mais amostras quando todas as variáveis são qualitativas. De acordo com o quadro abaixo, nota-se os pressupostos de utilização de cada teste.

comparação de médias

O primeiro passo para saber qual teste usar em uma comparação de médias entre variáveis qualitativas é verificar se o objetivo do problema é avaliar o grau de concordância entre dois ou mais indivíduos, ou avaliar a associação entre as repostas dos indivíduos.

Teste de concordância

Teste Kappa

O coeficiente de concordância de Kappa é utilizado para descrever a concordância entre dois ou mais juízes quando realizam uma avaliação nominal ou ordinal de uma mesma amostra. Por meio dos dados tem-se a seguinte tabela:

comparação de médias teste kappa

Nos quais:

  • r representa as categorias de avaliação;
  • n(ij) representa a quantidade de elementos amostrais avaliados pelo juiz X na categoria i e pelo juiz Y na categoria j ;
  • n.i representa a quantidade de elementos amostrais avaliados pelo juiz Y na categoria i ;
  • ni. representa a quantidade de elementos amostrais avaliados pelo juiz X na categoria j ;
  • n representa o total de elementos amostrais avaliados.

O valor do coeficiente de concordância de Kappa pode variar de:

Isso considerando que:

As hipóteses do teste são:

Ho: A concordância entre os juízes foi puramente aleatória.

Ha: A concordância entre os juízes não foi puramente aleatória.

Exemplo:

Dois médicos não identificados avaliam de forma independente o resultado de exames de diagnóstico por imagem de 180 pacientes e os classificam como “normal”, “alterado” e “inconclusivo”.

Pacientes <- c(1:180)

Medico.X <- c("Normal", "Alterado", "Inconclusivo", "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", 
              "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", 
              "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", "Normal", "Normal", "Inconclusivo",
              "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", 
              "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", 
              "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", "Normal", "Normal", "Inconclusivo",
              "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", 
              "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", 
              "Normal", "Normal", "Inconclusivo", "Normal", "Normal", "Inconclusivo",
              "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", 
              "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", 
              "Normal", "Normal", "Inconclusivo", "Normal", "Normal","Inconclusivo",
              "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", 
              "Normal", "Alterado","Inconclusivo", "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", 
              "Normal", "Normal", "Inconclusivo", "Normal", "Normal", "Inconclusivo",
              "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", 
              "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", 
              "Normal", "Normal", "Inconclusivo", "Normal", "Normal", "Inconclusivo", 
              "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", 
              "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", 
              "Normal", "Normal", "Inconclusivo", "Normal", "Normal", "Inconclusivo", 
              "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", 
              "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", 
              "Normal", "Normal", "Inconclusivo", "Normal", "Normal", "Inconclusivo", 
              "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", 
              "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", 
              "Normal", "Normal", "Inconclusivo", "Normal", "Normal", "Inconclusivo", 
              "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", 
              "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", 
              "Normal", "Normal", "Inconclusivo", "Normal", "Normal", "Inconclusivo")

Medico.X <- factor(Medico.X, 
                   levels = c("Normal", "Alterado", "Inconclusivo"))

Medico.Y <- c("Normal", "Alterado", "Inconclusivo", "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", 
              "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", "Normal", "Inconclusivo", "Normal", 
              "Normal", "Inconclusivo", "Normal", "Normal", "Alterado", "Alterado", 
              "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", 
              "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", "Normal", "Inconclusivo", "Normal", 
              "Normal", "Inconclusivo", "Normal", "Normal", "Alterado", "Alterado", 
              "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", 
              "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", "Normal", "Inconclusivo", "Normal", 
              "Normal", "Inconclusivo", "Alterado", "Normal", "Alterado", "Alterado", 
              "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", 
              "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", "Normal", "Inconclusivo", "Normal", 
              "Normal", "Inconclusivo", "Alterado", "Normal", "Alterado", "Alterado", 
              "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", 
              "Normal", "Normal", "Normal", "Normal", "Inconclusivo", "Normal", 
              "Normal", "Inconclusivo", "Alterado", "Alterado", "Alterado", "Alterado", 
              "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", 
              "Normal", "Normal", "Normal", "Normal", "Inconclusivo", "Normal", 
              "Normal", "Inconclusivo", "Alterado", "Alterado", "Alterado", "Alterado", 
              "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", "Normal", "Alterado", "Inconclusivo",
              "Normal", "Normal", "Normal", "Normal", "Inconclusivo", "Normal", 
              "Normal", "Inconclusivo", "Alterado", "Alterado", "Inconclusivo", "Alterado",
              "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", 
              "Normal", "Normal", "Normal", "Normal", "Inconclusivo", "Normal", 
              "Normal", "Inconclusivo", "Alterado", "Alterado", "Inconclusivo", "Alterado",
              "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", 
              "Normal", "Normal", "Normal", "Normal", "Inconclusivo", "Normal", 
              "Normal", "Inconclusivo", "Alterado", "Alterado", "Inconclusivo", "Alterado",
              "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", "Normal", "Alterado", "Inconclusivo", 
              "Normal", "Normal", "Normal", "Normal", "Inconclusivo", "Normal", 
              "Normal", "Inconclusivo", "Alterado", "Alterado", "Inconclusivo", "Alterado")

Medico.Y <- factor(Medico.Y, 
                   levels = c("Normal", "Alterado", "Inconclusivo"))

Dados <- data.frame(Pacientes, Medico.X, Medico.Y)
head(Dados)
##   Pacientes     Medico.X     Medico.Y
## 1         1       Normal       Normal
## 2         2     Alterado     Alterado
## 3         3 Inconclusivo Inconclusivo
## 4         4       Normal       Normal
## 5         5     Alterado     Alterado
## 6         6 Inconclusivo Inconclusivo

Ao organizar os dados como na tabela teórica, tem-se a seguinte tabela:

comparação de médias tabela

Portanto:

E os valores de K podem variar de -0,529 até 1, para esses dados. Portanto, classificamos o valor de K de acordo com a seguinte tabela:

compração de médias valor de kappa

Para realizar o teste Kappa no R, entrando com as variávies, é necessário instalar o pacote irr.

if(!require(irr)){install.packages("irr"); require(irr)}

head(Dados[,-1])
##       Medico.X     Medico.Y
## 1       Normal       Normal
## 2     Alterado     Alterado
## 3 Inconclusivo Inconclusivo
## 4       Normal       Normal
## 5     Alterado     Alterado
## 6 Inconclusivo Inconclusivo
kappa2(Dados[,-1])
##  Cohen's Kappa for 2 Raters (Weights: unweighted)
## 
##  Subjects = 180 
##    Raters = 2 
##     Kappa = 0.337 
## 
##         z = 6.39 
##   p-value = 1.67e-10

Portanto, considerando α=0,05, a hipótese de que a concordância entre os médicos X e Y fosse puramente aleatória foi rejeitada já que o valor-p foi menor que 0,001. Além disso, ao utilizar a tabela de interpretação para o valor de kappa é possível concluir que como K^=0,337, a concordância entre os médicos X e Y em relação aos diagnósticos a partir dos exames de imagem foi razoável.

Uma outra maneira de realizar o teste é entrando com a tabela e não com as variávies. Nesse caso utiliza-se o pacote fmsb

if(!require(fmsb)){install.packages("fmsb"); require(fmsb)}

Tabela.kappa <- table(Dados$Medico.X, Dados$Medico.Y)
Tabela.kappa.2 <- as.matrix(Tabela.kappa,
                            dimnames = list("Medico X", "Medico Y"))

Tabela.kappa
##               
##                Normal Alterado Inconclusivo
##   Normal           54       12           12
##   Alterado          6       24           12
##   Inconclusivo     18       18           24
Kappa.test(Tabela.kappa)
## $Result
## 
##  Estimate Cohen's kappa statistics and test the null hypothesis that
##  the extent of agreement is same as random (kappa=0)
## 
## data:  Tabela.kappa
## Z = 6.2021, p-value = 2.787e-10
## 95 percent confidence interval:
##  0.2259316 0.4475378
## sample estimates:
## [1] 0.3367347
## 
## 
## $Judgement
## [1] "Fair agreement"

O resultado é o mesmo nas duas funções.

Teste de associação

Caso o teste seja de associação, o próximo passo é verificar se as amostras são pareadas. Uma amostra é pareada quando um único juiz avalia o mesmo objeto de estudo em circunstâncias diferentes.

Amostras pareadas

Teste de McNemar

O Teste de McNemar é aplicado para tabelas de contingência 2×2 com um traço dicotômico, com pares de indivíduos correspondentes, para determinar as linhas e colunas onde as frequências marginais são iguais (isto é, se há uma “homogeneidade marginal”). Portanto, tem-se uma tabela como a seguinte figura:

comparação de médias teste de mcnemar

Além disso, as hipóteses do teste são:

Ho: As proporções marginais são iguais umas das outras.

Ha: As proporções marginais são diferentes umas das outras.

Exemplo:

Foi realizada uma pesquisa de opinião sobre o mandato do atual presidente dos Estados Unidos nesse mês e no mês passado, com uma amostra aleatória de 1600 eleitores americanos, para avaliar se os eleitores aprovam ou disaprovam o governo atual. Para realizar as análises no R é necessário apenas o pacote stats

if(!require(stats)){install.packages("stats"); require(stats)}

Performance <- matrix(c(794, 86, 150, 570),
                      nrow = 2,
                      dimnames = list("1ª Pesquisa" = c("Aprova", "Disaprova"),
                                      "2ª Pesquisa" = c("Aprova", "Disaprova")))

Performance
##            2ª Pesquisa
## 1ª Pesquisa Aprova Disaprova
##   Aprova       794       150
##   Disaprova     86       570
mcnemar.test(Performance)
## 
##  McNemar's Chi-squared test with continuity correction
## 
## data:  Performance
## McNemar's chi-squared = 16.818, df = 1, p-value = 4.115e-05

Considerando α=0,05, a hipótese nula foi rejeitada já que o valor-p foi menor que 0,001. Portanto, os eleitores mudaram de opinião sobre o governo da 1ª para a 2ª pesquisa. Sendo que, a maior parte dos eleitores que mudaram de opinião anteriormente aprovavam o governo e passaram a desaprovar.

Amostras não pareadas

Caso as amostras não sejam pareadas, a última pergunta a se fazer é se o tamanho amostral é suficiente ou não.

Tamanho amostral suficiente

Teste Qui-quadrado

O Teste Qui-quadrado é um teste de homogeneidade que compara a distribuição de contagens para dois ou mais grupos usando a mesma variável categórica. Também pode ser usado para testar a qualidade de ajuste do modelo (aderência) e para testar independência.

Exemplo:

Uma rede de lojas que comercializa produtos de maquiagem tem franquias em três bairros de Belo Horizonte, uma em cada bairro. Sua gerente decidiu verificar se a satisfação dos clientes que realizaram compras no mês de março oscilavam em virtude da loja.

Bairro <- c("Floresta", "Floresta", "Floresta", "Floresta", "Floresta",
            "Floresta", "Floresta", "Floresta", "Floresta", "Floresta",
            "Floresta", "Floresta", "Floresta", "Floresta", "Floresta",
            "Floresta", "Floresta", "Floresta", "Floresta", "Floresta",
            "Floresta", "Floresta", "Floresta", "Floresta", "Floresta",
            "Floresta", "Floresta", "Floresta", "Floresta", "Floresta",
            "Santa Efigênia", "Santa Efigênia", "Santa Efigênia", "Santa Efigênia", "Santa Efigênia",
            "Santa Efigênia", "Santa Efigênia", "Santa Efigênia", "Santa Efigênia", "Santa Efigênia",
            "Santa Efigênia", "Santa Efigênia", "Santa Efigênia", "Santa Efigênia", "Santa Efigênia",
            "Santa Efigênia", "Santa Efigênia", "Santa Efigênia", "Santa Efigênia", "Santa Efigênia",
            "Santa Efigênia", "Santa Efigênia", "Santa Efigênia", "Santa Efigênia", "Santa Efigênia",
            "Santa Tereza", "Santa Tereza", "Santa Tereza", "Santa Tereza", "Santa Tereza",
            "Santa Tereza", "Santa Tereza", "Santa Tereza", "Santa Tereza", "Santa Tereza",
            "Santa Tereza", "Santa Tereza", "Santa Tereza", "Santa Tereza", "Santa Tereza",
            "Santa Tereza", "Santa Tereza", "Santa Tereza", "Santa Tereza", "Santa Tereza",
            "Floresta", "Floresta", "Floresta", "Floresta", "Floresta",
            "Floresta", "Floresta", "Floresta", "Floresta", "Floresta",
            "Floresta", "Floresta", "Floresta", "Floresta", "Floresta",
            "Floresta", "Floresta", "Floresta", "Floresta", "Floresta",
            "Floresta", "Floresta", "Floresta", "Floresta", "Floresta")

Bairro <- factor(Bairro,
                 levels = c("Floresta", "Santa Efigênia", "Santa Tereza"))

Satisfação <- c("Satisfeito", "Satisfeito", "Satisfeito", "Satisfeito", "Satisfeito",
                "Satisfeito", "Satisfeito", "Satisfeito", "Satisfeito", "Satisfeito",
                "Satisfeito", "Satisfeito", "Satisfeito", "Satisfeito", "Satisfeito",
                "Satisfeito", "Satisfeito", "Satisfeito", "Satisfeito", "Satisfeito",
                "Satisfeito", "Satisfeito", "Satisfeito", "Satisfeito", "Satisfeito",
                "Satisfeito", "Satisfeito", "Satisfeito", "Satisfeito", "Satisfeito",
                "Satisfeito", "Satisfeito", "Satisfeito", "Satisfeito", "Satisfeito",
                "Satisfeito", "Satisfeito", "Satisfeito", "Satisfeito", "Satisfeito",
                "Satisfeito", "Satisfeito", "Satisfeito", "Satisfeito", "Satisfeito",
                "Satisfeito", "Satisfeito", "Satisfeito", "Satisfeito", "Satisfeito",
                "Insatisfeito", "Insatisfeito", "Insatisfeito", "Insatisfeito", "Insatisfeito",
                "Satisfeito", "Satisfeito", "Satisfeito", "Satisfeito", "Satisfeito",
                "Satisfeito", "Satisfeito", "Satisfeito", "Satisfeito", "Satisfeito",
                "Satisfeito", "Satisfeito", "Satisfeito", "Satisfeito", "Satisfeito",
                "Insatisfeito", "Insatisfeito", "Insatisfeito", "Insatisfeito", "Insatisfeito",
                "Insatisfeito", "Insatisfeito", "Insatisfeito", "Insatisfeito", "Insatisfeito",
                "Insatisfeito", "Insatisfeito", "Insatisfeito", "Insatisfeito", "Insatisfeito",
                "Insatisfeito", "Insatisfeito", "Insatisfeito", "Insatisfeito", "Insatisfeito",
                "Insatisfeito", "Insatisfeito", "Insatisfeito", "Insatisfeito", "Insatisfeito",
                "Insatisfeito", "Insatisfeito", "Insatisfeito", "Insatisfeito", "Insatisfeito")

Satisfação <- factor(Satisfação,
                     levels = c("Satisfeito", "Insatisfeito"))

Dados.chisq <- data.frame(Satisfação, Bairro)

table(Dados.chisq$Satisfação, Dados.chisq$Bairro)
##               
##                Floresta Santa Efigênia Santa Tereza
##   Satisfeito         30             20           15
##   Insatisfeito       25              5            5
tabela.aderencia(Dados.chisq$Bairro, Dados.chisq$Satisfação, 2, "chisq")
##                 N         %  N         %   Valor_p
## Floresta       30 0.4615385 25 0.7142857 0.0499365
## Santa Efigênia 20 0.3076923  5 0.1428571 0.0499365
## Santa Tereza   15 0.2307692  5 0.1428571 0.0499365

Considerando α=0,05, a hipótese nula é rejeitada já que o valor-p foi igual a 0,0499. Portanto, a satisfação dos clientes que realizaram compras no mês de março oscilavam em virtude da loja. Sendo que a franquia do bairro Floresta apresentou o maior percentual de insatisfação com as compras do mês de março se comparado com as demais lojas.

Tamanho amostral insuficiente

Teste Exato de Fisher

O teste exato de Fisher é um teste de significância estatística, utilizado na análise de tabelas de contingência. Embora, na prática, ele seja empregado quando os tamanhos das amostras são pequenos, é válido para todos os tamanhos de amostra.

Esse teste pertence a uma classe de testes exatos. Eles são chamados assim por conta da significância do desvio de uma hipótese nula (e.g., p-valor) que pode ser calculada exatamente, ao invés de depender de uma aproximação que se torna exata no limite conforme o tamanho da amostra cresce para o infinito, como em muitos testes estatísticos.

Fisher disse ter concebido o teste depois de um comentário da Dra. Muriel Bristol, que afirmou ser capaz de detectar se o chá ou o leite foi adicionado primeiro em sua xícara. Ele testou seu pedido no experimento “dama apreciadora de chá”.

Ele é um teste de homogeneidade, mas também pode testar aderência ou independência.

Exemplo:

De maneira geral, os doentes psiquiátricos podem ser classificados em psicóticos e neuróticos. Um psiquiatra realiza um estudo sobre os sintomas suicidas em duas amostras de 20 doentes de cada grupo. A nossa hipótese é que a proporção de psicóticos com sintomas suicidas é igual a proporção de neuróticos com esses sintomas.

Doente <- c("Psicótico", "Psicótico", "Psicótico", "Psicótico", "Psicótico",
            "Psicótico", "Psicótico", "Psicótico", "Psicótico", "Psicótico",
            "Neurótico", "Neurótico", "Neurótico", "Neurótico", "Neurótico",
            "Neurótico", "Neurótico", "Neurótico", "Neurótico", "Neurótico")

Doente <- factor(Doente,
                 levels = c("Psicótico", "Neurótico"))

Sintomas.suicidas <- c("Presente", "Ausente", "Ausente", "Ausente", "Ausente",
                       "Ausente", "Ausente", "Ausente", "Ausente", "Ausente",
                       "Presente", "Presente", "Ausente", "Ausente", "Ausente",
                       "Presente", "Presente", "Ausente", "Ausente", "Ausente")

Sintomas.suicidas <- factor(Sintomas.suicidas,
                            levels = c("Presente", "Ausente"))

Dados.fisher <- data.frame(Sintomas.suicidas, Doente)

table(Dados.fisher$Sintomas.suicidas, Dados.fisher$Doente)
##           
##            Psicótico Neurótico
##   Presente         1         4
##   Ausente          9         6
tabela.aderencia(Dados.fisher$Sintomas.suicidas, Dados.fisher$Doente, 2, "chisq")
## Warning in chisq.test(t0): Chi-squared approximation may be incorrect
##          N   % N   %   Valor_p
## Presente 1 0.1 4 0.4 0.3016996
## Ausente  9 0.9 6 0.6 0.3016996
tabela.aderencia(Dados.fisher$Sintomas.suicidas, Dados.fisher$Doente, 2, "fisher")
##          N   % N   %   Valor_p
## Presente 1 0.1 4 0.4 0.3034056
## Ausente  9 0.9 6 0.6 0.3034056

Considerando α=0,05, a hipótese nula não rejeitada já que o valor-p foi igual a 0,235. Portanto, a proporção de psicóticos com sintomas suicidas é igual à proporção de neuróticos com esses sintomas.

Teste Qui-quadrado Simulado

Caso os testes Qui-quadrado e/ou exato de Fisher apresentem uma mensagem de que a aproximação do teste deve estar incorreta, usa-se o Teste Qui-quadrado Simulado. Essa mensagem geralmente aparece quando algumas das caselas da tabela apresenta valor muito baixo em comparação com os demais.

tabela.aderencia(Dados.fisher$Sintomas.suicidas, Dados.fisher$Doente, 2, "chisq.simulate")
##          N   % N   %   Valor_p
## Presente 1 0.1 4 0.4 0.2994701
## Ausente  9 0.9 6 0.6 0.2994701

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